FIGURAS SEMEJANTES

ANTES DE EMPEZAR

Las figuras semejantes son las que mediante el zoom (homotecias) y movimientos (giros, traslaciones y simetrías) pueden coincidir. Recuerda dos figuras distintas solo por el tamaño, si sus partes  son correspondientes guardan la misma proporción, es la propiedad de semejanza.

Un polígono está determinado por sus lados y ángulos, por tanto para que dos polígonos sean semejantes basta con que los lados homólogos sean proporcionales (con el zoom se multiplican todos los lados por el mismo número) y sus ángulos iguales (las homotecias, los giros, las traslaciones y simetrías no modifican los ángulos de las figuras).

COMPETECIA MATEMÁTICA: Resolver problemas de manera autónoma.

 

APRENDIZAJES ESPERADOS:

PROPOSITOS:

·         Determinar el Teorema de Tales mediante construcción de segmentos.

·         Aplicar el Teorema de Tales en la solución de problemas

TAREA

Dibujar un segmento para después dividirlo en cinco partes, mediante el procedimiento de la hoja rayada.

Realiza los desafíos de las figuras que aparecen en la imagen de abajo:

 

Investigar la biografía de Tales de Mileto.

En tu cuaderno realiza un mapa conceptual o supernota acerca del Criterio de Semejanza y Teorema de Tales

PROCEDIMIENTO

DIVISIÓN DEL SEGMENTO

Indicaciones:

• Trazan una recta de 5 cm. en un acetato y la hoja de color debe estar rayada de 1 cm.
• Colocaran tachuelas en el acetato entre cada línea interceptada en el segmento.
• Con un plumón trazarán sobre el acetato el contorno del triangulo más grande, que se encuentra interceptando el segmento dado.
• Localizaran los puntos medios de cada lado del triangulo; identificaran cuantas rectas paralelas existen y sus direcciones.

Tienes dificultades para resolver los desafíos de matemáticas, ¡No te preocupes! en sección de recursos consulta el archivo de (Semejanza).

Revisa el enlace de Triángulos semejantes e interactúa con el programa.

RECURSOS

Semejanza

Biografía de tales

EVALUACIÓN

La evaluación se realizará mediante la siguiente rubrica.

ELEMENTOS	PREFORMAL	INICIAL – RECEPTIVO	BÁSICO	AUTÓNOMO
Indago en otras fuentes acerca del tema.	Necesita ayuda para investigar.	Usa ocasionalmente los enlaces y sin ayuda.	Utiliza con éxito los enlaces y navega sin ayuda.	Utiliza con éxito los enlaces y navega con facilidad sin ayuda.
Resolución de desafíos	Presenta dificultad para realizar el tipo de operaciones requerido en los desafíos.	Resolvió un desafío.	Resolvió como mínimo dos desafíos.	Todos los desafíos fueron resueltos.
Organización de la información manejada en los esquemas.	La información no estuvo clara.	La mayor parte del contenido está organizado lógicamente.	Uso títulos y listas pero la información es débil.	Contenido organizado utilizando con títulos.
Cumplió con la tarea en tiempo y forma.	No se ajusta a tiempo ni forma.	No se ajusta a formas y con dos o más días de retraso.	Se ajusta a formas con dos días de retraso.	Se ajusta a tiempos y formas.

CONCLUSIONES

En muchas ocasiones escuchamos a alguien hablar de semejanza, a veces al solicitar una ampliación de una foto, cuando se amplía o se reduce una fotocopia de algún documento legal; se dice que tienen semejanza por presentar un incremento o reducción, el tema nos permite conocer dimensiones teniendo dos datos que poseen similitud y otro dato que posee la similitud con el que deseamos conocer.

http://planeacionupcwr.blogspot.com/2011/09/combinaciones-y-decisiones-estrategicas.html

www.educaplus.org/play-185-Semejanza-de-triángulos.html?PHPSESSID=54e55cc0f6f4a8612f95f36bd2a27e3f

http://www.utadeo.edu.co/comunidades/estudiantes/ciencias_basicas/geometria/semejanza_1.pdf

http://www.youtube.com/watch?v=4iEZP0lH8xI

www.salesianosalameda.cl/biblioteca/Semejanza%5B1%5D.ppt

http://symploke.trujaman.org/index.php?title=Tales_de_Mileto

SEMEJANZA

Semejanza, relación entre dos figuras geométricas que tienen la misma forma, aunque distinto tamaño. Entre los elementos (puntos, rectas, ángulos…) de esas dos figuras se establece una relación por la que a cada elemento de F le corresponde otro de F′.

Dos figuras semejantes F y F′ cumplen las siguientes relaciones métricas: proporcionalidad de segmentos, igualdad de ángulos, relación entre las áreas y relación entre los volúmenes.

• Proporcionalidad de segmentos. Si A, B, C son puntos de F y A’, B’, C’, los correspondientes puntos de F′, entonces se cumple que:

• Es decir, entre dos figuras semejantes, los pares de segmentos correspondientes son proporcionales. La razón de proporcionalidad, k, se llama razón de semejanza. Por ejemplo, entre dos figuras semejantes cuya razón de semejanza es 2, cada segmento de la primera es de longitud doble que el correspondiente segmento de la segunda.
• Igualdad de ángulos. Si A, B, C son puntos de F y A’, B’, C’, los correspondientes puntos de F′, entonces se cumple que

• Es decir, entre dos figuras semejantes, los ángulos correspondientes son iguales. Esta propiedad es la que confiere la misma forma a las figuras semejantes.

• Relación entre las áreas. Si las figuras F y F′ son semejantes con razón de semejanza k, la razón entre sus áreas es k². Es decir, el cociente entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

• Relación entre los volúmenes. Si las figuras F y F′ son semejantes con razón de semejanza k, la razón entre sus volúmenes es k³. Es decir, el cociente entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza.

Dos polígonos son semejantes si sus lados son proporcionales y sus ángulos respectivamente iguales. Para saber que dos triángulos son semejantes basta comprobar que se cumple alguna de las condiciones siguientes, llamadas criterios de semejanza de triángulos:

Criterio 1. Tienen dos pares de ángulos respectivamente iguales.

Criterio 2. Tienen un ángulo igual y proporcionales los lados que lo forman.

Criterio 3. Tienen los tres lados proporcionales.

HOMOTECIA

Una homotecia es una transformación afín que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una homotecia de razón (λ) diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro de la transformación.

Una forma de realizar poligonos semejantes es por medio de la homotecia, en donde de un punto fijo llamado centro se desglosan lineas; en estas se colocaran las figuras, con la condicion de que cada uno de sus vertices toque solo una linea.

La figura semejante se realizará midiendo del centro a cada vertice de la figurura original, con esas medidas y colocandose en cada vertice y linea respectivos es como se obtendran los vertices semejantes.

Para finalizar se uniran los vertices creando segmentos, obteniendo así figuras semejantes, las caracteristicas de estas son: 

* Las medidas de los lados de la figura formada con los de la original son proporcionales 

* Los angulos de cada poligono son iguales.  

Propiedades

La homotecia es una transformación afín, composición de una transformación lineal y una traslación, y por consiguiente conserva:

1. el alineamiento: las imágenes de puntos alineados son alineados: (A,B,C) y (A', B', C') en la figura
2. el centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. En la figura, B es el centro de [A;C] y por lo tanto B' es el de [A';C']
3. La imagen de una línea es otra línea paralela a la original.
4. el paralelismo: dos líneas paralelas tienen imágenes paralelas. En la figura (B'E') // (C'D') porque (BE) //(CD).
5. Si k ≠ 1, el centro de la homotecia es el único punto fijo (k = 1 corresponde a la identidad de E: todos los puntos son fijos).
6. k = - 1 corresponde a una simetría de centro C.
7. Si k ≠ 0, admite como trasformación recíproca (cuando k = 0, no es biyectiva).
8. Al componer dos homotecias del mismo centro se obtiene otra homotecia con este centro, cuya razón es el producto de las razones de las homotecias iniciales: o = .
9. Al componer homotecias de centros distintos, de razones k y k', se obtiene una homotecia de razón k·k' cuando k·k'≠1, y una traslación si k·k'=1. El conjunto de las homotecias (con k≠0) y las translaciones forman un grupo.